Percolation með hömlun – 2. hluti

Þetta er annar hluti greinaraðarinnar um percolation með hömlun. Ef þú hefur ekki lesið fyrsta hlutann finnurðu hann hér.

Í þessari færslu reynum við að fá tilfinningu fyrir því hversu margir hnútar verða á endanum virkir í ferlinu. Gerum ráð fyrir að hnútarnir séu $n$ talsins, að $n^+$ þeirra sendi jákvæð skilaboð og að $n^-$ þeirra sendi neikvæð skilaboð.

Tökum fyrir einn ákveðinn hnút í netinu. Við getum gert ráð fyrir að hann viti ekki hvort nágrannar hans eru jákvæðir eða neikvæðir. Þar sem hann fær í mesta lagi ein skilaboð frá hverjum nágranna getum við litið svo á að hver skilaboð séu, óháð hinum, jákvæð með líkum $n^+/n$ og neikvæð með líkum $n^-/n$. Strangt til tekið eru þessir atburðir ekki óháðir, en tengslin milli þeirra eru veik, svo það er í lagi að gera ráð fyrir því til að fá tilfinningu fyrir ferlinu.

Þá getum við lýst ferlinu sem Markov-keðju. Ef þú þekkir ekki Markov-keðjur er til fín myndræn útskýring á þeim hér. Markov-keðjan okkar hefur óendanlega mörg ástönd, og þau tákna mætti þessa eina hnúts sem við erum að skoða. Ástöndin eru gefin með menginu $\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,K\}$ og svara til gildisins á mætti hnútsins. Eins og allir hnútar sem eru ekki virkir í upphafi byrjar hann með mættið í ástandi 0, og ferlið getur aðeins stöðvast ef hann nær einhvern tíma ástandi $K$. Umskiptalíkurnar eru líkurnar á því að mættið hækki eða lækki, eins og lýst var í efnisgreininni hér á undan.

Hér fyrir neðan er gagnvirk útgáfa af ferlinu. Sjálfslykkjan á ástandi $K$ sýnir að það er gleypiástand. Þar sem ekki er pláss fyrir óendanlega mörg ástönd stendur ástandið lengst til vinstri fyrir öll ástönd sem eru $-K$ eða minni. Þú getur ímyndað þér að keðjan haldi endalaust áfram til vinstri. Auk þess endurræsum við ferlið ef því er ekki lokið eftir 10 skref (þú getur breytt þeirri tölu hér fyrir neðan). Ef $n^-<n^+$ ætti ferlið alltaf að ná $K$ að lokum, séu skrefin nógu mörg. Ef $n^- > n^+$ er hins vegar rek til vinstri. Það þýðir að ef mættið verður of lítið eru litlar sem engar líkur á að það nái sér aftur á strik. Prófaðu til dæmis að velja $n^- = 100$ og $n^+ = 50$.